前言
之前在某个参数估计的无偏性证明上犯了蠢，本来是只要代入正态均值的期望就可以得到结论，我却钻入了牛角尖，到最后想要证明逆Wishart分布的期望。虽然对于解题已经没有意义，既然已经查了资料，就稍微研究一下，我在Wikipedia上找到了结果，但是没有找到相关的证明。最后在T. W. Anderson的《An Introduction to Multivariate Statistical Analysis》的P273-274上找到了证明。虽然这个证明很简短，但是因为我对高代实在是不够熟练，还是花了我很长时间去理解。
证明
定理 设\(\boldsymbol{A}\sim W_p(n,\Sigma)\)，那么\(E\boldsymbol{A}^{-1}=\dfrac{1}{n-p-1}\Sigma^{-1}\).
证明 考虑\(\boldsymbol{B}\sim W_p(n,\boldsymbol{I})\)，那么\(\boldsymbol{B}\overset{d}{=}\boldsymbol{X}‘\boldsymbol{X}\)，其中\(\boldsymbol{X}\)是来自\(N_p(0,\boldsymbol{I})\)的\(n\times p\)数据阵，那么由于\(\boldsymbol{X}\)的每一行都是独立同分布的正态向量，可知\(E\boldsymbol{B}^{-1}\)的对角元全相同，非对角元也全相同（这里确实不太好理解，但是也只能好好理解一下了……），于是设\(E\boldsymbol{B}^{-1}=k_1\boldsymbol{I}+k_2\epsilon\epsilon'\)，其中\(\epsilon=(1,\dots,1)'\)。
考虑任意正交矩阵\(\boldsymbol{Q}\)，有\(\boldsymbol{Q}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Q}'\sim W_p(n,\boldsymbol{I})\)，于是\(E\boldsymbol{B}^{-1}=E(\boldsymbol{Q}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Q}')^{-1}=\boldsymbol{Q}E\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{Q}'\)，代入得\(k_2\epsilon\epsilon'=k_2\boldsymbol{Q}\epsilon\epsilon'\boldsymbol{Q}'\)，如果\(k_2\neq 0\)，那么有\(\epsilon\epsilon'=\boldsymbol{Q}\epsilon\epsilon'\boldsymbol{Q}'\)对任意正交矩阵\(\boldsymbol{Q}\)成立，注意到\(\epsilon\epsilon'\)是全1矩阵，这是不可能的，（这里可以取\(\boldsymbol{Q}\)为证明正态样本均值与方差独立时用到的矩阵矩阵，或者其他的，只要找出一个元素不同即可），从而\(k_2=0\)，进而\(E\boldsymbol{B}^{-1}=k_1\boldsymbol{I}\)。
此时只需要考虑\(\boldsymbol{B}\)的对角元。事实上，它的每一个对角元的逆都服从\(\chi^2_{n-p+1}\)（见张润楚《多元统计分析》定理2.2.11），而\(E(\chi^2_{n-p+1})^{-1}=(n-p-1)^{-1}\)，从而\(E\boldsymbol{B}^{-1}=(n-p-1)^{-1}\boldsymbol{I}\)。
而对于一般的\(\boldsymbol{A}\)，存在\(\boldsymbol{C}\)使得\(\Sigma=\boldsymbol{C}\boldsymbol{C}'\)，从而有\(\boldsymbol{A}\overset{d}{=}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}'\)，进而\(E\boldsymbol{A}^{-1}=E(\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}')^{-1}=(\boldsymbol{C}')^{-1}E\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{C}^{-1}=\dfrac{1}{n-p-1}(\boldsymbol{C}\boldsymbol{C}')^{-1}=\dfrac{1}{n-p-1}\Sigma^{-1}\)。
一些补充
有关\(\boldsymbol{Q}\)的选择
只要取 \[\boldsymbol{Q}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{n}}&\frac{1}{\sqrt{n}}&\frac{1}{\sqrt{n}}&\dots&\frac{1}{\sqrt{n}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\dots&0 \\ \frac{1}{\sqrt{2\cdot 3}}&\frac{1}{\sqrt{2\cdot 3}}&-\frac{1}{\sqrt{2\cdot 3}}&\dots&0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots \\ \frac{1}{\sqrt{(n-1)n}}&\frac{1}{\sqrt{(n-1)n}}&\frac{1}{\sqrt{(n-1)n}}&\dots&-\frac{1}{\sqrt{(n-1)n}} \end{pmatrix},\] 并注意到第一行的元素和为\(\sqrt{n}\)，第\(n\)列的元素和为\(\dfrac{\sqrt{n-1}-1}{\sqrt{n(n-1)}}\)，就可以得到\(\boldsymbol{Q}\epsilon\epsilon'\neq\epsilon\epsilon'\boldsymbol{Q}\)。
有关\(\chi^2\)分布的逆
最开始直接的想法是\(F\)分布的期望与分子无关，那么可以直接得到\(E(\chi^2_n)^{-1}=\dfrac{1}{n-2}\)，但仔细一想这样直接过来还是有点问题。网上看到可以考虑其推广逆\(\Gamma\)分布的期望，但是总觉得这样有点杀鸡用牛刀，还是更希望用我自己学过的内容来解决。
在查阅资料的时候了解到一些知识，这个分布的期望直接求密度函数再用定义就可以求出，我稍微算了一下，打公式太麻烦就不写了。但对于更一般的情况，我了解到一些比如非中心的分布的期望，一般正态二次型的期望，非中心Wishart分布的期望，我打算学习之后再写一篇笔记。