逆Wishart分布的期望的证明

前言

之前在某个参数估计的无偏性证明上犯了蠢，本来是只要代入正态均值的期望就可以得到结论，我却钻入了牛角尖，到最后想要证明逆Wishart分布的期望。虽然对于解题已经没有意义，既然已经查了资料，就稍微研究一下，我在Wikipedia上找到了结果，但是没有找到相关的证明。最后在T. W. Anderson的《An Introduction to Multivariate Statistical Analysis》的P273-274上找到了证明。虽然这个证明很简短，但是因为我对高代实在是不够熟练，还是花了我很长时间去理解。

证明

定理 设$A\sim W_p(n,\Sigma )$，那么$E{A}^{-1}=\frac{1}{n-p-1}{\Sigma }^{-1}$.
证明 考虑$B\sim W_p(n,I)$，那么$B\stackrel{d}{=}X‘X$，其中$X$是来自$N_p(0,I)$的$n\times p$数据阵，那么由于$X$的每一行都是独立同分布的正态向量，可知$E{B}^{-1}$的对角元全相同，非对角元也全相同（这里确实不太好理解，但是也只能好好理解一下了……），于是设$E{B}^{-1}=k_{1}I+k_2ϵ{ϵ}^{\prime }$，其中$ϵ=(1,\dots ,1{)}^{\prime }$。
考虑任意正交矩阵$Q$，有$QB{Q}^{\prime }\sim W_p(n,I)$，于是$E{B}^{-1}=E(QB{Q}^{\prime }{)}^{-1}=QE{B}^{-1}{Q}^{\prime }$，代入得$k_2ϵ{ϵ}^{\prime }=k_{2}Qϵ{ϵ}^{\prime }{Q}^{\prime }$，如果$k_2\ne 0$，那么有$ϵ{ϵ}^{\prime }=Qϵ{ϵ}^{\prime }{Q}^{\prime }$对任意正交矩阵$Q$成立，注意到$ϵ{ϵ}^{\prime }$是全1矩阵，这是不可能的，（这里可以取$Q$为证明正态样本均值与方差独立时用到的矩阵矩阵，或者其他的，只要找出一个元素不同即可），从而$k_2=0$，进而$E{B}^{-1}=k_{1}I$。
此时只需要考虑$B$的对角元。事实上，它的每一个对角元的逆都服从${\chi }_{n-p+1}^2$（见张润楚《多元统计分析》定理2.2.11），而$E({\chi }_{n-p+1}^2{)}^{-1}=(n-p-1{)}^{-1}$，从而$E{B}^{-1}=(n-p-1{)}^{-1}I$。
而对于一般的$A$，存在$C$使得$\Sigma =C{C}^{\prime }$，从而有$A\stackrel{d}{=}CB{C}^{\prime }$，进而$E{A}^{-1}=E(CB{C}^{\prime }{)}^{-1}=(C^{\prime }{)}^{-1}E{B}^{-1}{C}^{-1}=\frac{1}{n-p-1}(C{C}^{\prime }{)}^{-1}=\frac{1}{n-p-1}{\Sigma }^{-1}$。

一些补充