前言
之前在某个参数估计的无偏性证明上犯了蠢，本来是只要代入正态均值的期望就可以得到结论，我却钻入了牛角尖，到最后想要证明逆Wishart分布的期望。虽然对于解题已经没有意义，既然已经查了资料，就稍微研究一下，我在Wikipedia上找到了结果，但是没有找到相关的证明。最后在T. W. Anderson的《An Introduction to Multivariate Statistical Analysis》的P273-274上找到了证明。虽然这个证明很简短，但是因为我对高代实在是不够熟练，还是花了我很长时间去理解。
证明
定理 设A∼Wp(n,Σ)A∼Wp(n,Σ)，那么EA−1=1n−p−1Σ−1EA−1=1n−p−1Σ−1.
证明 考虑B∼Wp(n,I)B∼Wp(n,I)，那么Bd=X‘XBd=X‘X，其中XX是来自Np(0,I)Np(0,I)的n×pn×p数据阵，那么由于XX的每一行都是独立同分布的正态向量，可知EB−1EB−1的对角元全相同，非对角元也全相同（这里确实不太好理解，但是也只能好好理解一下了……），于是设EB−1=k1I+k2ϵϵ′EB−1=k1I+k2ϵϵ′，其中ϵ=(1,…,1)′ϵ=(1,…,1)′。
考虑任意正交矩阵QQ，有QBQ′∼Wp(n,I)QBQ′∼Wp(n,I)，于是EB−1=E(QBQ′)−1=QEB−1Q′EB−1=E(QBQ′)−1=QEB−1Q′，代入得k2ϵϵ′=k2Qϵϵ′Q′k2ϵϵ′=k2Qϵϵ′Q′，如果k2≠0k2≠0，那么有ϵϵ′=Qϵϵ′Q′ϵϵ′=Qϵϵ′Q′对任意正交矩阵QQ成立，注意到ϵϵ′ϵϵ′是全1矩阵，这是不可能的，（这里可以取QQ为证明正态样本均值与方差独立时用到的矩阵矩阵，或者其他的，只要找出一个元素不同即可），从而k2=0k2=0，进而EB−1=k1IEB−1=k1I。
此时只需要考虑BB的对角元。事实上，它的每一个对角元的逆都服从χ2n−p+1χ2n−p+1（见张润楚《多元统计分析》定理2.2.11），而E(χ2n−p+1)−1=(n−p−1)−1E(χ2n−p+1)−1=(n−p−1)−1，从而EB−1=(n−p−1)−1IEB−1=(n−p−1)−1I。
而对于一般的AA，存在CC使得Σ=CC′Σ=CC′，从而有Ad=CBC′Ad=CBC′，进而EA−1=E(CBC′)−1=(C′)−1EB−1C−1=1n−p−1(CC′)−1=1n−p−1Σ−1EA−1=E(CBC′)−1=(C′)−1EB−1C−1=1n−p−1(CC′)−1=1n−p−1Σ−1。
一些补充
有关QQ的选择
只要取 Q=(1√n1√n1√n…1√n1√2−1√20…01√2⋅31√2⋅3−1√2⋅3…0⋮⋮⋮⋮1√(n−1)n1√(n−1)n1√(n−1)n…−1√(n−1)n),Q=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1√n1√n1√n…1√n1√2−1√20…01√2⋅31√2⋅3−1√2⋅3…0⋮⋮⋮⋮1√(n−1)n1√(n−1)n1√(n−1)n…−1√(n−1)n⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠, 并注意到第一行的元素和为√n√n，第nn列的元素和为√n−1−1√n(n−1)√n−1−1√n(n−1)，就可以得到Qϵϵ′≠ϵϵ′QQϵϵ′≠ϵϵ′Q。
有关χ2χ2分布的逆
最开始直接的想法是FF分布的期望与分子无关，那么可以直接得到E(χ2n)−1=1n−2E(χ2n)−1=1n−2，但仔细一想这样直接过来还是有点问题。网上看到可以考虑其推广逆ΓΓ分布的期望，但是总觉得这样有点杀鸡用牛刀，还是更希望用我自己学过的内容来解决。
在查阅资料的时候了解到一些知识，这个分布的期望直接求密度函数再用定义就可以求出，我稍微算了一下，打公式太麻烦就不写了。但对于更一般的情况，我了解到一些比如非中心的分布的期望，一般正态二次型的期望，非中心Wishart分布的期望，我打算学习之后再写一篇笔记。